3 de mayo de 2010

La paradoja del cumpleaños

En la época en la que iba al colegio había en mi clase dos chicos que cumplían los años el mismo día. A mi me parecía una coincidencia curiosísima, pensaba que era algo dificilísimo que pasara. Éramos 26 en clase y hay 365 días en el año, ¿cuál era la probabilidad de que algo así pasara?
Pues para los que no lo sepáis, la probabilidad era mayor que 50%.
Resulta que si introducimos a 23 personas en una habitación hay 50,7% de probabilidad de que dos de ellos cumplan los años el mismo día, y si hiciéramos números descubriríamos que en una clase con 60 personas tenemos un ¡¡99%!! de probabilidad de encontrarnos con que dos personas cumplirán años el mismo día.
La clave está en que con 23 personas se pueden hacer 253 parejas diferentes (23 x 22/2). ¿Verdad que dicho de esta manera parece más obvia la respuesta? La gente tiende a pensar que una persona concreta tendrá solamente 22 días posibles para coincidir en la fecha, y esa es una cifra muy reducida... y equivocada.
Para el que le interese, la probabilidad de que en una clase de n personas nadie coincida en su fecha de cumpleaños es la siguiente (si queremos el porcentaje, habría que multiplicar por 100):
Y para calcular la probabilidad de que sí haya coincidencias habría que calcular 1-p.
Os pongo unos curiosos datos sacados de Gaussianos:
Para n=30, la probabilidad es de 0.706316, poco más del 70%.
Para
n=35, la probabilidad es de 0.814383, poco más del 81%.
Para
n=40, la probabilidad es de 0.891232, casi del 90%.
Para
n=45, la probabilidad es de 0.940976, cerca del 95%.
Para
n=50, la probabilidad es de 0.970374, más del 97%.
Para
n=60, la probabilidad es de 0.994123, ¡¡más del 99%!!

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